Доказать достаточное условие выпуклости графика функции.

Другие предметы Колледж Выпуклость функций достаточное условие выпуклости график функции математический анализ колледж доказательство выпуклости Новый

Доказательство достаточного условия выпуклости графика функции можно провести, используя понятие второй производной функции. Давайте рассмотрим, как это сделать шаг за шагом.

Определение выпуклости:

График функции f(x) называется выпуклым на интервале, если для любых двух точек x1 и x2 из этого интервала и для любого t из [0, 1] выполняется неравенство:

f(tx1 + (1 - t)x2) ≤ tf(x1) + (1 - t)f(x2).

Достаточное условие:

Функция f(x) будет выпуклой на интервале, если ее вторая производная f''(x) ≥ 0 для всех x из этого интервала.

Шаги доказательства:

1. Предположим, что f''(x) ≥ 0: Это означает, что первая производная f'(x) является неубывающей на рассматриваемом интервале. То есть, если x1 < x2, то f'(x1) ≤ f'(x2).
2. Рассмотрим производную: Если f'(x) не убывает, это означает, что функция f(x) возрастает с неубывающей скоростью. Это приводит к тому, что график функции "выпуклый вверх".
3. Используем среднее значение: Для любых x1 и x2 из интервала, по теореме о среднем значении, существует такая точка c между x1 и x2, что:

   f'(x2) - f'(x1) = f''(c)(x2 - x1).

   Поскольку f''(c) ≥ 0, это означает, что f'(x2) ≥ f'(x1).

4. Применяем неравенство: Теперь мы можем использовать это свойство для доказательства выпуклости. Для любого t из [0, 1] мы имеем:

   f(tx1 + (1 - t)x2) - (tf(x1) + (1 - t)f(x2)) = f(tx1 + (1 - t)x2) - (tf(x1) + (1 - t)f(x2)) ≤ 0.

   Это неравенство выполняется, так как производная не убывает и f''(x) ≥ 0.

5. Заключение: Таким образом, мы показали, что если f''(x) ≥ 0 на интервале, то график функции f(x) является выпуклым на этом интервале. Это и есть достаточное условие выпуклости функции.

Таким образом, мы доказали, что если вторая производная функции неотрицательна на некотором интервале, то график этой функции выпуклый на этом интервале.