Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x0, то она непрерывна …

• в этой точке
• во всей области определения
• во всех точках числовой прямой

Другие предметы Колледж Дифференцируемость и непрерывность функций математический анализ дифференцируемая функция непрерывность функции точка x0 область определения числовая прямая колледж математика Новый

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x0, то она непрерывна:

• в этой точке (x0)
• всей области определения
• во всех точках числовой прямой

Теперь давайте подробно разберем, что это означает и почему это так.

1. Дифференцируемость и непрерывность

Если функция дифференцируема в точке x0, это значит, что существует производная функции в этой точке. Процесс нахождения производной подразумевает, что мы рассматриваем предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

f'(x0) = lim (h -> 0) [f(x0 + h) - f(x0)] / h

Если этот предел существует, это говорит о том, что функция ведет себя "хорошо" в окрестности точки x0.

2. Непрерывность в точке

Функция f(x) считается непрерывной в точке x0, если:

lim (x -> x0) f(x) = f(x0)

Другими словами, значение функции в точке x0 совпадает с пределом функции при стремлении x к x0. Если функция дифференцируема в x0, это значит, что при приближении к x0 значение функции не "прыгает", а плавно меняется, что автоматически подразумевает ее непрерывность в этой точке.

3. Непрерывность во всей области определения

Однако, важно отметить, что дифференцируемость в одной точке не гарантирует непрерывность функции во всей области определения. Например, функция может быть разрывной в других точках, но это не относится к точке x0, где мы рассматриваем производную.

4. Непрерывность во всех точках числовой прямой

Это утверждение также не всегда верно. Функция может быть непрерывной в одной точке, но разрывной в других. Например, функция может быть кусочной и иметь разрывы в других точках, но при этом быть дифференцируемой в одной конкретной точке.

Таким образом, если функция дифференцируема в точке x0, она обязательно непрерывна в этой точке, но не обязательно во всей области определения или во всех точках числовой прямой.