• Верно ли, что любая дифференцируемая в точке функция непрерывна в этой точке?
• нет
• да

Другие предметы Колледж Дифференцируемость и непрерывность функций математический анализ дифференцируемая функция непрерывность функции колледж свойства функций Новый

Да, это верно. Если функция дифференцируема в точке, то она также непрерывна в этой точке. Давайте разберем это утверждение подробнее.

Чтобы понять, почему это так, рассмотрим определения:

• Дифференцируемость: Функция f(x) дифференцируема в точке x=a, если существует предел:
• f'(a) = lim (h -> 0) [(f(a + h) - f(a)) / h]
• Непрерывность: Функция f(x) непрерывна в точке x=a, если выполняется следующее условие:
• lim (x -> a) f(x) = f(a)

Теперь давайте рассмотрим, что происходит, если функция f(x) дифференцируема в точке a:

1. Согласно определению дифференцируемости, мы имеем предел, который существует.
2. Это означает, что при приближении x к a, значения f(x) становятся все ближе к f(a).
3. Таким образом, мы можем сказать, что lim (x -> a) f(x) = f(a), что и является определением непрерывности.

Следовательно, если функция дифференцируема в точке, она обязательно непрерывна в этой точке. Однако обратное утверждение не всегда верно: непрерывная функция не обязательно дифференцируема в данной точке.

Таким образом, ответ на ваш вопрос: да, любая дифференцируемая в точке функция непрерывна в этой точке.