Когда мы анализируем функцию двух переменных, мы часто хотим определить, есть ли у функции максимум, минимум или седловая точка в определенной точке. Для этого мы используем второй производный тест, который включает в себя вычисление вторых частных производных функции и анализ гессиана, который является матрицей этих производных.

Давайте разберем шаги для анализа ситуации, когда все производные второго порядка функции двух переменных в точке отрицательны:

1. Определение вторых производных:
   • Найдите вторые частные производные функции: f_xx, f_yy и f_xy (где f_xx — вторая производная по x, f_yy — вторая производная по y, а f_xy — смешанная производная).
2. Построение гессиана:
   • Составьте матрицу Гессе (гессиан) для функции:
     • | f_xx f_xy |
     • | f_xy f_yy |
3. Определитель гессиана:
   • Вычислите определитель гессиана: D = f_xx * f_yy - (f_xy)^2.
4. Анализ гессиана:
   • Если D > 0 и f_xx < 0, то функция имеет локальный максимум в данной точке.
   • Если D > 0 и f_xx > 0, то функция имеет локальный минимум в данной точке.
   • Если D < 0, то функция имеет седловую точку в данной точке.
   • Если D = 0, тест не дает информации о характере экстремума.

Теперь вернемся к вашему вопросу: если все производные второго порядка отрицательны, это означает, что f_xx < 0, f_yy < 0 и f_xy < 0. Однако для определения характера экстремума необходимо также учитывать определитель гессиана (D).

Таким образом, функция может иметь максимум в данной точке, если D > 0 и f_xx < 0, но может и не иметь экстремума, если D < 0 или D = 0. Поэтому утверждение, что функция обязательно имеет максимум в данной точке, если все производные второго порядка отрицательны, неверно. Функция может не иметь экстремума в данной точке в зависимости от значения D.