Верно ли, что если функция двух переменных дифференцируема в данный точке, то у неё есть экстремум в этой точке?

• да
• нет

Другие предметы Колледж Экстремумы функций нескольких переменных дифференцируемая функция экстремум две переменные математика колледж анализ функций критические точки Новый

Давайте разберем этот вопрос более подробно.

Функция двух переменных может иметь экстремум в данной точке, но это не всегда так. Для того чтобы понять, почему это так, рассмотрим несколько важных моментов.

1. Дифференцируемость функции:

• Если функция дифференцируема в точке, это означает, что в этой точке существуют частные производные по обеим переменным и они непрерывны в некоторой окрестности этой точки.
• Дифференцируемость также подразумевает, что в этой точке можно провести касательную плоскость, которая хорошо приближает поведение функции в окрестности этой точки.

2. Условия экстремума:

• Для того чтобы функция имела экстремум в данной точке, необходимо, чтобы производные первого порядка в этой точке равнялись нулю. Это называется условием необходимым для экстремума.
• Однако, даже если производные первого порядка равны нулю, это не гарантирует наличие экстремума. Для этого необходимо также проверить вторые производные (условие достаточности).

3. Пример:

Рассмотрим функцию f(x, y) = x^2 + y^2. В точке (0, 0) функция имеет минимум, так как производные первого порядка равны нулю и вторые производные положительные.

Теперь рассмотрим функцию g(x, y) = x^2 - y^2. В точке (0, 0) также производные первого порядка равны нулю, но в данном случае мы имеем седловую точку, а не экстремум.

Вывод:

Таким образом, можно сказать, что если функция двух переменных дифференцируема в данной точке, это не гарантирует наличие экстремума в этой точке. Для этого необходимо дополнительно проверять условия на производные второго порядка.