Формула Ньютона – Лейбница.

Другие предметы Колледж Интегральное исчисление формула Ньютона – Лейбница математический анализ колледж интегралы производные теорема обучение математика высшая математика курс математического анализа Новый

Формула Ньютона – Лейбница является одним из основных результатов математического анализа, связывающим дифференцирование и интегрирование. Она позволяет вычислять определенные интегралы, используя первообразные функции. Давайте подробно разберем, что это такое и как она работает.

Формулировка теоремы:

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) является её первообразной (то есть F'(x) = f(x)), то:

∫(a to b) f(x) dx = F(b) - F(a)

Шаги решения:

1. Определите функцию f(x): Убедитесь, что функция, которую вы хотите интегрировать, непрерывна на заданном интервале [a, b].
2. Найдите первообразную F(x): Найдите функцию F(x), производная которой равна f(x). Это может потребовать применения различных методов интегрирования.
3. Подставьте границы интегрирования: После нахождения первообразной, подставьте верхнюю и нижнюю границы в F(x): сначала подставьте b, затем a.
4. Вычислите разность: Вычтите значение F(a) из F(b): F(b) - F(a). Это и будет значением определенного интеграла ∫(a to b) f(x) dx.

Пример:

Рассмотрим функцию f(x) = 2x на интервале [1, 3].

1. Функция f(x) = 2x непрерывна на [1, 3].
2. Найдём первообразную: F(x) = x^2 (так как производная x^2 равна 2x).
3. Подставим границы: F(3) = 3^2 = 9 и F(1) = 1^2 = 1.
4. Вычислим разность: 9 - 1 = 8.

Таким образом, ∫(1 to 3) 2x dx = 8.

Формула Ньютона – Лейбница позволяет нам быстро и эффективно находить значения определенных интегралов, используя знания о производных и первообразных. Это очень полезный инструмент в математическом анализе.