Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: x = 2x – x2 и y = 0

1. 4/3
2. 3/4
3. 2 1/3
4. 1/3

Другие предметы Колледж Интегральное исчисление площадь плоской фигуры высшая математика колледж интегралы функции графики вычисления площади математический анализ задачи по математике коллежская математика Новый

Для вычисления площади плоской фигуры, ограниченной заданными линиями, нам нужно сначала определить, что представляют собой эти линии и как они пересекаются.

Итак, у нас есть уравнение:

x = 2x - x²

Это уравнение можно переписать в более удобной форме:

x² - x = 0

Теперь мы можем вынести x за скобки:

x(x - 1) = 0

Отсюда мы видим, что у нас есть два корня: x = 0 и x = 1. Эти точки будут границами интегрирования.

Следующим шагом будет нахождение функции y, которая в данном случае равна 0, что соответствует оси абсцисс.

Теперь мы можем выразить площадь фигуры, ограниченной данной кривой и осью x, используя интеграл:

Площадь = ∫(y верх - y низ) dx

В нашем случае y верх - это значение функции, а y низ - это 0. Мы можем выразить y из уравнения:

y = 2x - x²

Теперь подставим это в формулу для площади:

Площадь = ∫(0 до 1) (2x - x²) dx

Теперь вычислим этот интеграл:

1. Находим первообразную функции 2x - x²:
• Первообразная 2x = x²
• Первообразная -x² = -x³/3
2. Таким образом, первообразная будет:

F(x) = x² - x³/3

3. Теперь подставим границы интегрирования:

F(1) = 1² - (1)³/3 = 1 - 1/3 = 2/3

F(0) = 0² - (0)³/3 = 0

4. Теперь находим площадь:

Площадь = F(1) - F(0) = 2/3 - 0 = 2/3

Таким образом, площадь плоской фигуры, ограниченной линиями, равна 2/3.