График функции y = f(x) называется … на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале

Другие предметы Колледж Выпуклость и вогнутость функций график функции касательная интервал математика колледж свойства функций анализ функций нижняя граница функции Новый

График функции y = f(x) называется выпуклым вниз на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

Чтобы понять это определение, давайте рассмотрим несколько ключевых моментов:

1. Касательная к графику функции: Касательной к графику функции в точке x0 называется прямая, которая касается графика в этой точке и имеет ту же производную, что и функция в этой точке. Это означает, что касательная показывает направление изменения функции в окрестности точки x0.
2. Выпуклость графика: График функции называется выпуклым вниз, если для любых двух точек на графике, а также для всех точек между ними, график всегда ниже линии, соединяющей эти две точки. Это можно визуализировать так: если провести прямую линию между двумя точками на графике, то вся часть графика между этими двумя точками будет находиться ниже этой прямой.
3. Связь с производной: Если функция f(x) является дважды дифференцируемой, то выпуклость вниз можно также определить через вторую производную. Если вторая производная f''(x) < 0 на интервале (a; b), то график функции будет выпуклым вниз на этом интервале.

Таким образом, если вы видите, что график функции расположен ниже своих касательных на интервале (a; b), то можно с уверенностью сказать, что он выпуклый вниз на этом интервале.