Чтобы найти интервалы выпуклости функции y = x³/3 – 3x² + 5x + 1, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Найдем первую производную функции.

Первая производная функции y по x обозначается как y'. Мы найдем производную каждого члена:

• Производная x³/3 равна x².
• Производная -3x² равна -6x.
• Производная 5x равна 5.
• Производная константы 1 равна 0.

Таким образом, первая производная будет:

y' = x² - 6x + 5.

2. Найдем вторую производную функции.

Вторая производная функции y обозначается как y''. Найдем производную первой производной:

• Производная x² равна 2x.
• Производная -6x равна -6.
• Производная константы 5 равна 0.

Таким образом, вторая производная будет:

y'' = 2x - 6.

3. Найдем точки перегиба.

Точки перегиба находятся там, где вторая производная равна нулю:

2x - 6 = 0.

Решим это уравнение:

• 2x = 6
• x = 3.

Таким образом, у нас есть одна точка перегиба: x = 3.

4. Определим интервалы выпуклости.

Теперь мы проверим знаки второй производной на интервалах, которые образуются точкой перегиба:

• Интервал 1: x < 3.
• Интервал 2: x > 3.

Выберем тестовые точки:

• Для интервала x < 3, например, возьмем x = 0:

y''(0) = 2(0) - 6 = -6 (отрицательное значение).

• Для интервала x > 3, например, возьмем x = 4:

y''(4) = 2(4) - 6 = 2 (положительное значение).

5. Запишем результаты.

Таким образом, мы можем сделать вывод:

• Функция выпуклая вниз на интервале (-∞, 3).
• Функция выпуклая вверх на интервале (3, +∞).

Итак, интервалы выпуклости функции y = x³/3 – 3x² + 5x + 1: выпуклость вниз на (-∞, 3) и выпуклость вверх на (3, +∞).