Какие из следующих равенств справедливы для всех множеств A и B

• (A B) ∪ B = A
• (A ∩ B) = A (A B)
• (A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C)
• A ∩ (B A) = ∅
  

Другие предметы Колледж Множества и операции над ними дискретная математика множества A и B равенства для множеств операции над множествами объединение и пересечение свойства множеств колледж дискретная математика Новый

Давайте проанализируем каждое из предложенных равенств, чтобы определить, справедливо ли оно для всех множеств A и B.

1. (A ∩ B) ∪ B = A

   Это равенство не всегда верно. Рассмотрим контрпример: пусть A = {1} и B = {2}. Тогда (A ∩ B) = ∅, и (A ∩ B) ∪ B = ∅ ∪ {2} = {2}, что не равно A. Таким образом, равенство не справедливо для всех множеств.

2. (A ∩ B) = A

   Это равенство также не всегда верно. Например, если A = {1} и B = {2}, то A ∩ B = ∅, что не равно A. Следовательно, данное равенство не является универсально истинным.

3. (A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C)

   Это равенство также не всегда верно. Рассмотрим A = {1}, B = {2}, C = {3}. Тогда (A ∩ B) = ∅, и (A ∩ B) ∪ C = ∅ ∪ {3} = {3}. С другой стороны, A ∩ (B ∪ C) = {1} ∩ {2, 3} = ∅. В этом случае равенство не выполняется. Таким образом, оно не является истинным для всех множеств.

4. A ∩ (B A) = ∅

   Это равенство также не всегда верно. Рассмотрим A = {1, 2} и B = {1}. Тогда (B A) = {2}, и A ∩ (B A) = {1, 2} ∩ {2} = {2}, что не равно ∅. Таким образом, это равенство не является универсально истинным.

В итоге, ни одно из предложенных равенств не является справедливым для всех множеств A и B. Чтобы проверить равенства, полезно использовать контрпримеры, которые показывают, что равенство не выполняется для определенных множеств.