Каждая повторная передача сигнала по каналу связи увеличивает вероятность искажения сигнала на 0,1%. При передаче первого сигнала эта вероятность равна 0,05. Передано 100 сигналов. Найти границы, в которых с вероятность 0,9 заключено число переданных без искажения сигналов.

Другие предметы Колледж Нормальное распределение теория вероятностей математическая статистика колледж вероятность искажения сигнала передача сигнала статистические границы вероятность без искажения анализ данных математические модели вероятностные оценки Новый

Для решения задачи нам нужно определить, сколько сигналов было передано без искажения, учитывая, что вероятность искажения увеличивается с каждой последующей передачей. Давайте пошагово разберем решение.

Шаг 1: Определение вероятности искажения

• Вероятность искажения первого сигнала: 0,05 (или 5%).
• Каждая следующая передача увеличивает вероятность искажения на 0,1% (или 0,001).
• Таким образом, для n-го сигнала вероятность искажения будет равна: 0,05 + (n - 1) * 0,001.

Шаг 2: Вычисление вероятности передачи без искажения

• Вероятность передачи без искажения для n-го сигнала: 1 - (0,05 + (n - 1) * 0,001).
• Это можно записать как: 0,95 - (n - 1) * 0,001.

Шаг 3: Определение вероятности передачи без искажения для 100 сигналов

• Теперь нам нужно найти общее количество сигналов, переданных без искажения после 100 передач.
• Обозначим X - количество сигналов, переданных без искажения.
• Каждый сигнал имеет свою вероятность передачи без искажения, и мы можем использовать биномиальное распределение для нахождения границ.

Шаг 4: Расчет математического ожидания и дисперсии

• Математическое ожидание (M) количества сигналов, переданных без искажения, можно найти как сумму вероятностей:
• M(X) = сумма (0,95 - (n - 1) * 0,001) для n от 1 до 100.
• Это можно упростить: M(X) = 100 * 0,95 - 0,001 * (0 + 1 + 2 + ... + 99).
• Сумма первых n натуральных чисел равна n(n + 1)/2, поэтому 0 + 1 + 2 + ... + 99 = 99 * 100 / 2 = 4950.
• Таким образом, M(X) = 95 - 0,001 * 4950 = 95 - 4,95 = 90,05.

Шаг 5: Дисперсия

• Дисперсия (D) количества сигналов, переданных без искажения:
• D(X) = сумма (p(n)(1 - p(n))) для n от 1 до 100, где p(n) - вероятность передачи без искажения для n-го сигнала.
• Так как p(n) = 0,95 - (n - 1) * 0,001, можно рассчитать дисперсию, но для упрощения будем использовать нормальное приближение.

Шаг 6: Нормальное приближение

• Поскольку n = 100 велико, мы можем использовать нормальное распределение для нахождения границ с вероятностью 0,9.
• Для нормального распределения с M = 90,05 и D = 90,05 (приблизительно) мы можем использовать стандартное отклонение (sigma) = sqrt(D).
• Затем находим границы: M - Z * sigma и M + Z * sigma, где Z - значение для 90% доверительного интервала (примерно 1,645).

Шаг 7: Вычисление границ

• sigma = sqrt(90,05) ≈ 9,49.
• Границы: 90,05 - 1,645 * 9,49 и 90,05 + 1,645 * 9,49.
• Вычисляем: 90,05 - 15,61 ≈ 74,44 и 90,05 + 15,61 ≈ 105,66.

Шаг 8: Окончательные границы

Таким образом, с вероятностью 0,9 число переданных без искажения сигналов будет находиться в пределах от 75 до 105 (округляя до целых чисел).