_{Момент инерции однородного диска массы m и радиуса r относительно оси, перпендикулярной диску и проходящей через его центр?}

Другие предметы Колледж Момент инерции момент инерции диска однородный диск масса диска радиус диска ось инерции теоретическая механика колледж механика Новый

Чтобы найти момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной диску и проходящей через его центр, необходимо воспользоваться определением момента инерции и интегральным методом.

Шаги решения:

1. Определение момента инерции: Момент инерции I относительно оси вращения определяется как сумма произведений массы на квадрат расстояния от оси вращения до масс точки. В интегральной форме это записывается как:
• I = ∫ r² dm
2. Выбор системы координат: Удобно использовать полярные координаты, где точка на диске описывается радиусом r и углом θ.
3. Определение элементарной массы: Площадь элементарного кольца диска можно выразить как dA = r dθ dr. Если диск однородный, то его масса распределена равномерно. Элементарная масса dm будет равна:
• dm = (m / S) dA
• где S - площадь диска, S = πr².
4. Подставление в интеграл: Площадь S = πr², тогда dm = (m / πr²) * (r dθ dr) = (m / π) * (1 / r) * dθ dr. Теперь подставим это в формулу для момента инерции:
• I = ∫ r² * dm = ∫ r² * (m / π) * (1 / r) * dθ dr.
5. Интегрирование: Интегрируем по радиусу от 0 до R и по углу от 0 до 2π:
• I = (m / π) * ∫(0 до 2π) dθ * ∫(0 до R) r dr.
• Первый интеграл по углу дает 2π, а второй интеграл по радиусу:
• ∫(0 до R) r dr = (1/2)R².
6. Подставление результатов интегрирования: Подставив результаты, получаем:
• I = (m / π) * 2π * (1/2)R² = mR² / 2.

Ответ: Момент инерции однородного диска массы m и радиуса R относительно оси, перпендикулярной диску и проходящей через его центр, равен:

I = (1/2) m R².