Чтобы найти момент инерции однородного стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину, нам нужно воспользоваться определением момента инерции и некоторыми основными принципами механики.

Шаг 1: Определение момента инерции

Момент инерции (I) относительно оси определяется как сумма произведений массы элементов тела на квадрат расстояния от этих элементов до оси вращения:

I = Σ(m_i * r_i^2),

где m_i — масса элемента, r_i — расстояние от элемента до оси вращения.

Шаг 2: Разделение стержня на элементы

Представим наш стержень длиной l как множество маленьких элементов массы dm. Если мы возьмем стержень длиной l и разделим его на n маленьких участков, то каждый участок будет иметь длину dl = l/n и массу dm = (m/l) * dl.

Шаг 3: Определение расстояния до оси вращения

Для однородного стержня, ось проходит через середину, и расстояние от каждого элемента dm до оси будет зависеть от его положения на стержне. Если мы обозначим расстояние от одного конца стержня до элемента dm как x, то:

• для элемента, находящегося на расстоянии x от одного конца, r = |l/2 - x|.

Таким образом, можно сказать, что:

• Для элементов, находящихся слева от середины, r = l/2 - x.
• Для элементов, находящихся справа от середины, r = x - l/2.

Шаг 4: Интегрирование

Теперь мы можем выразить момент инерции как интеграл:

I = ∫(r^2 * dm).

Заменим dm на (m/l) * dx, где dx - элементарный участок длины. Мы можем интегрировать от -l/2 до l/2:

I = ∫[(-l/2) до (l/2)] ((l/2 - x)^2 * (m/l) dx).

Шаг 5: Вычисление интеграла

После вычисления интеграла мы получаем:

I = (1/12) * m * l^2.

Итог:

Таким образом, момент инерции однородного стержня массы m и длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через середину, равен:

I = (1/12) * m * l^2.