Момент инерции однородного стержня массы m и длины L относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину

Другие предметы Колледж Момент инерции момент инерции однородный стержень масса m длина L ось перпендикулярная механика колледж Новый

Для нахождения момента инерции однородного стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину, мы можем использовать интегральный подход или известные формулы. Давайте разберем этот процесс шаг за шагом.

1. Определение момента инерции: Момент инерции (I) тела относительно оси вращения определяется как сумма произведений массы каждого элемента тела на квадрат расстояния от этого элемента до оси вращения.
2. Параметры стержня: У нас есть однородный стержень с массой m и длиной L. Поскольку стержень однородный, его масса равномерно распределена по всей длине.
3. Выбор элемента: Разобьем стержень на бесконечно малые элементы длины dx. Расположим стержень так, чтобы его середина совпадала с началом координат (0,0). Тогда координаты элемента будут изменяться от -L/2 до L/2.
4. Масса элемента: Масса элемента dx можно выразить как:

   dm = (m/L) * dx

   где (m/L) - это плотность стержня (масса на единицу длины).

5. Расстояние до оси: Расстояние от элемента до оси, проходящей через середину стержня, равно x. Таким образом, момент инерции элемента будет равен:

   dI = x^2 * dm = x^2 * (m/L) * dx

6. Интегрирование: Теперь мы можем найти общий момент инерции, интегрируя dI по всему стержню:

   I = ∫(от -L/2 до L/2) (m/L) * x^2 * dx

7. Вычисление интеграла: Интеграл от x^2 можно вычислить:

   I = (m/L) * [x^3/3] от -L/2 до L/2

   Подставляем пределы:

   I = (m/L) * [(L/2)^3/3 - (-L/2)^3/3]

   I = (m/L) * [(L^3/24) - (-L^3/24)] = (m/L) * (2L^3/24) = (m/L) * (L^3/12)

8. Финальный результат: Упрощая, получаем:

   I = m * L^2 / 12

Таким образом, момент инерции однородного стержня массы m и длины L относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину, равен:

I = m * L^2 / 12