Найдите предел lim (√(1 – x) – √(1 + x))² / x², при x ⟶ 0

• 1
• 0
• -1
• ∞

Другие предметы Колледж Пределы и непрерывность функций предел высшая математика колледж лимит корень x при x стремится к 0 математический анализ Новый

Чтобы найти предел lim (√(1 – x) – √(1 + x))² / x² при x → 0, начнем с подстановки значений и применения алгебраических преобразований.

1. Подставим x = 0 в выражение. Получаем:

• √(1 - 0) - √(1 + 0) = √1 - √1 = 1 - 1 = 0
• Следовательно, в числителе получаем 0, а в знаменателе x² также стремится к 0.

2. Это означает, что мы имеем неопределенность вида 0/0. Чтобы решить эту проблему, воспользуемся методом рационализации. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

lim (√(1 - x) - √(1 + x))² / x² * (√(1 - x) + √(1 + x)) / (√(1 - x) + √(1 + x))

3. Теперь числитель упрощается:

• (√(1 - x) - √(1 + x))(√(1 - x) + √(1 + x)) = (1 - x) - (1 + x) = -2x

4. Теперь подставим это в предел:

lim (-2x)² / (x²(√(1 - x) + √(1 + x)))

Это будет равно:

lim (4x²) / (x²(√(1 - x) + √(1 + x)))

5. Сократим x² в числителе и знаменателе:

lim 4 / (√(1 - x) + √(1 + x))

6. Теперь подставим x = 0:

• √(1 - 0) + √(1 + 0) = √1 + √1 = 1 + 1 = 2

7. Таким образом, предел равен:

lim 4 / 2 = 2

Ответ: Предел lim (√(1 – x) – √(1 + x))² / x² при x → 0 равен 2.