Похожие вопросы
2025-07-19 14:42:33
Найти предел lim ln(1 + x) / arcsinx, x⟶0
- 0
- ∞
- 1
- 1/2
- 2
Другие предметы Колледж Пределы и непрерывность функций предел высшая математика колледж лимит LN арксинус задачи по математике анализ функций предельные значения математические пределы
2025-07-19 14:42:52
Для нахождения предела lim (ln(1 + x) / arcsin(x)), когда x стремится к бесконечности, начнем с анализа поведения числителя и знаменателя по отдельности.
Шаг 1: Исследуем числитель ln(1 + x)
- При x стремящемся к бесконечности, ln(1 + x) ведет себя как ln(x), так как 1 становится незначительным по сравнению с x.
- Таким образом, lim (x → ∞) ln(1 + x) = ∞.
Шаг 2: Исследуем знаменатель arcsin(x)
- Функция arcsin(x) определена только для x в диапазоне от -1 до 1. Поэтому, когда x стремится к бесконечности, arcsin(x) не определен.
- Это означает, что мы не можем просто подставить x в arcsin(x) при x → ∞.
Шаг 3: Перепишем предел
Чтобы корректно проанализировать предел, мы можем рассмотреть другой подход. Вместо arcsin(x) лучше использовать другую функцию, например, arcsin(t), где t = 1/x, что будет стремиться к 0, когда x → ∞.
Шаг 4: Применим предел через преобразование переменных
- Сделаем замену: t = 1/x, тогда x = 1/t и, когда x → ∞, t → 0.
- Теперь предел можно переписать как lim (t → 0) ln(1 + 1/t) / arcsin(1/t).
Шаг 5: Упрощаем предел
- При t стремящемся к 0, ln(1 + 1/t) ведет себя как ln(1/t), что равно -ln(t).
- Функция arcsin(1/t) при t → 0 стремится к π/2, так как arcsin(x) стремится к π/2 при x → ∞.
Шаг 6: Находим предел
Таким образом, мы имеем следующий предел:
lim (t → 0) (-ln(t)) / (π/2) = -2/π * lim (t → 0) ln(t).
Поскольку ln(t) стремится к -∞, весь предел стремится к +∞.
Заключение:
Таким образом, предел lim (ln(1 + x) / arcsin(x)) при x → ∞ равен бесконечности:
lim (ln(1 + x) / arcsin(x)) = ∞.