Чтобы найти предел lim (tg³x / x³) при x стремящемся к 0, давайте рассмотрим функцию tg(x) и её поведение вблизи нуля.

1. Напомним, что тангенс можно представить как:

• tg(x) = sin(x) / cos(x)

2. При x стремящемся к 0, мы знаем, что:

• sin(x) ≈ x (по первому порядку Тейлора)
• cos(x) ≈ 1 (по первому порядку Тейлора)

3. Следовательно, tg(x) ≈ x при x стремящемся к 0. Теперь подставим это в нашу функцию:

• tg³(x) ≈ (x)³ = x³

4. Теперь подставим это приближение в предел:

• lim (tg³x / x³) = lim (x³ / x³) = lim 1 = 1

Таким образом, предел lim (tg³x / x³) при x стремящемся к 0 равен 1. Мы можем записать это как: