Найдите предел lim sin5x / x, x⟶0

• 5
• 1/5
• 1
• 0

Другие предметы Колледж Пределы функции предел высшая математика колледж лимит sin5x x x→0 математика расчет предела математический анализ Новый

Для нахождения предела lim (sin(5x) / x) при x, стремящемся к 0, мы можем использовать известное свойство пределов и правило Лопиталя. Давайте рассмотрим этот предел пошагово.

1. Подстановка предела: Сначала подставим x = 0 в выражение sin(5x) / x. Мы получим:
• sin(5*0) / 0 = sin(0) / 0 = 0 / 0.
2. Форма неопределенности: Мы видим, что получаем неопределенность вида 0/0, что позволяет нам использовать правило Лопиталя.
3. Применение правила Лопиталя: Согласно правилу Лопиталя, мы можем взять производные числителя и знаменателя:
• Числитель: производная от sin(5x) равна 5cos(5x).
• Знаменатель: производная от x равна 1.
4. Снова находим предел: Теперь мы можем найти предел:
• lim (5cos(5x) / 1) при x → 0.
5. Подставляем x = 0: Подставим значение x = 0 в выражение 5cos(5x):
• 5cos(5*0) = 5cos(0) = 5*1 = 5.

Ответ: Таким образом, предел lim (sin(5x) / x) при x, стремящемся к 0, равен 5.