Найдите радиус сходимости ряда 1 / 4 + x / 5 + x² / 6 – x³ / 7 + … xⁿ / (n + 4) + …

1. R = 1
2. R = 4
3. R = 1/4
4. R = ∞

Другие предметы Колледж Ряды и последовательности радиус сходимости ряд высшая математика колледж математический анализ последовательности бесконечные ряды Новый

Для нахождения радиуса сходимости ряда, давайте рассмотрим общий член данного ряда. Мы видим, что ряд имеет вид:

Сумма: Σ (x^n) / (n + 4)

где n - это номер члена ряда, начиная с n = 0. Теперь мы можем использовать критерий Даламбера (или тест ratio) для нахождения радиуса сходимости.

Согласно этому критерию, мы вычисляем предел:

lim (n→∞) |a(n+1) / a(n)|

где a(n) = x^n / (n + 4). Тогда:

• a(n) = x^n / (n + 4)
• a(n+1) = x^(n+1) / (n + 5)

Теперь подставим эти члены в предел:

lim (n→∞) |(x^(n+1) / (n + 5)) / (x^n / (n + 4))|

Упростим это выражение:

lim (n→∞) |x| * (n + 4) / (n + 5)

Теперь мы можем упростить дробь:

lim (n→∞) |x| * (1 + 4/n) / (1 + 5/n)

При n стремящемся к бесконечности, 4/n и 5/n стремятся к 0, поэтому мы получаем:

lim (n→∞) |x| * 1 / 1 = |x|

Теперь для сходимости ряда необходимо, чтобы этот предел был меньше 1:

|x| < 1

Таким образом, радиус сходимости R равен 1.

Ответ: R = 1