Похожие вопросы
2025-02-28 10:19:30
Найдите радиус сходимости ряда x / (1 2) + x² / (2 2²) + x³ / (3 2³) + … + xⁿ / (n 2ⁿ) + …
Другие предметы Колледж Ряды и последовательности радиус сходимости математический анализ колледж ряды пределы последовательности функции конвергенция теорема задачи по математическому анализу
2025-07-19 11:08:40
Чтобы найти радиус сходимости данного степенного ряда, мы можем воспользоваться формулой радиуса сходимости для степенных рядов, которая основана на теореме Коши-Адамара. Формула выглядит следующим образом:
R = 1 / lim sup (|aₙ|)^(1/n)
где aₙ - коэффициенты ряда.
В данном случае наш ряд имеет вид:
- aₙ = 1 / (n 2ⁿ)
Теперь мы можем применить формулу радиуса сходимости:
- Рассмотрим последовательность |aₙ|^(1/n). В нашем случае это будет:
- |aₙ|^(1/n) = (1 / (n 2ⁿ))^(1/n) = 1 / (n^(1/n) 2)
- Теперь найдем предел при n, стремящемся к бесконечности:
- lim (n^(1/n)) = 1, так как корень n-й степени из n стремится к 1 при n → ∞.
- Следовательно:
- lim sup (|aₙ|^(1/n)) = 1 / 2
- Теперь можем найти радиус сходимости:
- R = 1 / (1 / 2) = 2
Таким образом, радиус сходимости данного ряда равен 2.
