Похожие вопросы
2025-09-04 18:08:10
Найдите радиус сходимости ряда x / 1 + x² / 2 + x³ / 3 + … + xⁿ / n + …
- R = 1
- R = -1
- R = 0
- R = ∞
Другие предметы Колледж Ряды и последовательности радиус сходимости высшая математика колледж ряд x / n задачи по математике пределы последовательности анализ рядов математические ряды
2025-09-04 18:08:17
Для нахождения радиуса сходимости данного ряда, мы можем использовать критерий Коши или критерий Даламбера. В нашем случае ряд имеет вид:
Сумма: S(x) = x/1 + x²/2 + x³/3 + … + xⁿ/n + …
Обозначим общий член ряда как a_n = xⁿ/n. Теперь применим критерий Даламбера, который гласит, что радиус сходимости R можно найти по формуле:
R = 1 / lim sup (n -> ∞) |a_n+1 / a_n|
Теперь найдем a_n+1 и a_n:
- a_n = xⁿ/n
- a_n+1 = xⁿ⁺¹/(n+1)
Теперь вычислим отношение:
|a_n+1 / a_n| = |(xⁿ⁺¹/(n+1)) / (xⁿ/n)| = |(x/n+1) * (n/x)| = |x/n+1| * n
Сократим x и n:
|a_n+1 / a_n| = |x| * (n/(n+1))
Теперь найдем предел, когда n стремится к бесконечности:
lim (n -> ∞) |a_n+1 / a_n| = |x| * lim (n -> ∞) (n/(n+1)) = |x| * 1 = |x|.
Теперь подставим это значение в формулу для радиуса сходимости:
R = 1 / lim (n -> ∞) |a_n+1 / a_n| = 1 / |x|.
Для сходимости ряда необходимо, чтобы |x| < R. Таким образом, мы получаем:
|x| < 1.
Это значит, что радиус сходимости R равен 1.
Ответ: R = 1.