Для нахождения изображения функции f(t) = t/2 * sin(t) мы можем использовать метод, основанный на анализе поведения функции и ее свойств. Давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам в этом.

1. Определение области определения:

   Функция f(t) определена для всех значений t, так как t может принимать любое значение из множества действительных чисел. Таким образом, область определения функции - это R (все действительные числа).

2. Анализ функции:

   Функция f(t) = t/2 * sin(t) является произведением двух функций: линейной функции t/2 и тригонометрической функции sin(t). Это означает, что:

   • Линейная часть t/2 может принимать любые значения от -бесконечности до +бесконечности.
   • Тригонометрическая функция sin(t) колеблется между -1 и 1.
3. Нахождение пределов:

   Теперь давайте исследуем поведение функции на границах:

   • При t стремящемся к +бесконечности, f(t) будет стремиться к +бесконечности, так как t/2 будет расти, а sin(t) будет колебаться между -1 и 1.
   • При t стремящемся к -бесконечности, f(t) будет стремиться к -бесконечности по той же причине.
4. Нахождение критических точек:

   Чтобы найти экстремумы функции, найдем производную f'(t) и приравняем ее к нулю:

   • f'(t) = (1/2) * sin(t) + (t/2) * cos(t).
   • Приравняем f'(t) к нулю и найдем t, для которых это выполняется. Это может быть сложной задачей, и, возможно, потребуется численный метод или графический анализ для нахождения конкретных значений.
5. Изображение функции:

   Изучив поведение функции, мы можем сделать вывод, что:

   • Изображение функции f(t) будет стремиться к +бесконечности и -бесконечности.
   • С учетом колебаний sin(t),функция будет принимать значения в диапазоне, который зависит от t. Однако, в целом, мы можем сказать, что изображение функции охватывает все действительные числа R.

Таким образом, изображение функции f(t) = t/2 * sin(t) - это все действительные числа R.