Для нахождения изображения функции f(t) = t * ch(t) - sh(t) мы можем использовать метод, связанный с анализом функции и ее производной. Давайте разберем шаги, которые помогут нам понять, как находить изображения данной функции.

• Функция f(t) состоит из двух гиперболических функций: ch(t) (гиперболический косинус) и sh(t) (гиперболический синус).
• Мы можем записать: ch(t) = (e^t + e^(-t)) / 2 и sh(t) = (e^t - e^(-t)) / 2.

Теперь подставим эти выражения в нашу функцию:

f(t) = t * ((e^t + e^(-t)) / 2) - ((e^t - e^(-t)) / 2).

Упрощая, мы получаем:

f(t) = (t * e^t + t * e^(-t) - e^t + e^(-t)) / 2.

Чтобы понять, как ведет себя функция, найдем ее производную:

f'(t) = d/dt [t * ch(t)] - d/dt [sh(t)].

Используя правило произведения для первой части, получаем:

• f'(t) = ch(t) + t * sh(t) - ch(t).
• Таким образом, f'(t) = t * sh(t).

Теперь мы можем найти критические точки, приравняв производную к нулю:

t * sh(t) = 0.

• Это уравнение будет равно нулю, если t = 0 или sh(t) = 0.
• sh(t) = 0, когда t = 0.

Таким образом, единственная критическая точка - это t = 0.

Теперь мы можем исследовать поведение функции в окрестности критической точки:

• f(0) = 0 * ch(0) - sh(0) = 0 - 0 = 0.

Теперь мы можем проверить, как функция ведет себя при больших и малых значениях t:

• При t → ∞, f(t) будет расти, так как t * ch(t) будет доминировать.
• При t → -∞, f(t) также будет расти, но с отрицательным знаком.

Изучив поведение функции, мы можем сделать вывод, что:

• Изображение функции f(t) охватывает все значения от -∞ до +∞.
• Таким образом, изображение функции f(t) = t * ch(t) - sh(t) равно R (все действительные числа).