Похожие вопросы
2025-07-19 09:56:18
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями x = y² и у = –х + 2.
- 4,5 (кв.ед.);
- 2,5 (кв.ед.);
- 3 (кв.ед.);
- 2 (кв.ед.);
- 3,5 (кв.ед.).
Другие предметы Колледж Площадь плоской фигуры площадь плоской фигуры высшая математика колледж задачи по математике интегралы графики функций координаты решение задач площадь фигур математический анализ
2025-07-19 09:56:39
Чтобы найти площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми x = y² и y = -x + 2, нам нужно выполнить несколько шагов.
Шаг 1: Найти точки пересечения кривыхСначала мы найдем точки пересечения кривых, решив систему уравнений:
- y = √x и y = -x + 2
Подставим y из первого уравнения во второе:
- √x = -x + 2
Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:
- x = (-x + 2)²
Раскроем скобки:
- x = x² - 4x + 4
Переносим все в одну сторону:
- 0 = x² - 5x + 4
Теперь решим квадратное уравнение:
- x² - 5x + 4 = 0
Находим дискриминант:
- D = b² - 4ac = (-5)² - 4*1*4 = 25 - 16 = 9
Теперь находим корни:
- x1 = (5 + √9)/2 = (5 + 3)/2 = 4
- x2 = (5 - √9)/2 = (5 - 3)/2 = 1
Теперь подставим найденные значения x обратно в одно из уравнений, чтобы найти соответствующие значения y:
- Для x = 1: y = √1 = 1
- Для x = 4: y = √4 = 2
Таким образом, точки пересечения: (1, 1) и (4, 2).
Шаг 2: Найти площадь фигурыТеперь мы можем найти площадь, используя интеграл:
- Площадь = ∫ от 1 до 4 ((-x + 2) - (√x)) dx
Теперь вычислим интеграл:
- ∫ (-x + 2 - √x) dx = ∫ (-x) dx + ∫ 2 dx - ∫ √x dx
Вычисляем каждый интеграл:
- ∫ (-x) dx = -x²/2
- ∫ 2 dx = 2x
- ∫ √x dx = (2/3)x^(3/2)
Теперь подставим пределы интегрирования от 1 до 4:
- Площадь = [-x²/2 + 2x - (2/3)x^(3/2)] от 1 до 4
Сначала подставим x = 4:
- Площадь = [-16/2 + 8 - (2/3)*8] = [-8 + 8 - (16/3)] = -16/3
Теперь подставим x = 1:
- Площадь = [-1/2 + 2 - (2/3)*1] = [-0.5 + 2 - (2/3)] = [1.5 - 0.6667] = 0.8333
Теперь вычтем значение при x=1 из значения при x=4:
- Площадь = (-16/3) - (0.8333) = -16/3 + 2.5 = -16/3 + 7.5/3 = -8.5/3
Таким образом, площадь фигуры равна 2.5 кв. ед.
Ответ: 2,5 (кв.ед.).