Криволинейный интеграл первого рода — это интеграл, который вычисляется по кривой в пространстве. Он обобщает понятие обычного интеграла на случай, когда интегрируемая функция зависит от параметров, определяемых кривой. Давайте разберем его подробнее.

Определение: Пусть у нас есть кривая C, заданная параметрически в виде:

• x = x(t),
• y = y(t),
• t ∈ [a, b],

где t — параметр, и функции x(t) и y(t) непрерывны на отрезке [a, b]. Тогда криволинейный интеграл первого рода функции f(x, y) по кривой C записывается следующим образом:

I = ∫C f(x, y) ds,

ds = √(dx² + dy²) = √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt.

Таким образом, интеграл можно записать в следующем виде:

I = ∫(a to b) f(x(t), y(t)) √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt.

Шаги для вычисления криволинейного интеграла первого рода:

1. Задать параметры кривой: Определите, как кривая C задается в параметрической форме. Найдите функции x(t) и y(t).
2. Вычислить производные: Найдите производные dx/dt и dy/dt.
3. Найти элемент длины: Используя производные, вычислите ds = √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt.
4. Подставить в интеграл: Подставьте f(x(t), y(t)) и ds в интеграл, чтобы получить интеграл по параметру t.
5. Вывести пределы интегрирования: Убедитесь, что пределы интегрирования соответствуют значениям параметра t на заданной кривой.
6. Вычислить интеграл: Выполните интегрирование по t, чтобы найти значение криволинейного интеграла.

Таким образом, криволинейный интеграл первого рода позволяет вычислять интегралы по кривым, что является важным инструментом в математике и приложениях, таких как физика и инженерия.