Криволинейный интеграл I рода — это интеграл, который вычисляется по кривой векторного поля. Давайте рассмотрим, как его вычислить шаг за шагом.

Шаг 1: Определение кривой

Сначала необходимо задать кривую, по которой мы будем интегрировать. Обычно кривая задается параметрически. Например, пусть кривая C задается параметрически как:

• x(t) = f(t)
• y(t) = g(t)

где t изменяется на некотором интервале [a, b].

Шаг 2: Определение векторного поля

Далее нужно определить векторное поле F, по которому будет проводиться интегрирование. Например, пусть:

• F(x, y) = (P(x, y),Q(x, y))

где P и Q — функции, определяющие компоненты векторного поля.

Шаг 3: Выражение криволинейного интеграла

Криволинейный интеграл I рода по кривой C вычисляется по формуле:

I = ∫C F · dr = ∫(a to b) (P(x(t),y(t)) * dx/dt + Q(x(t),y(t)) * dy/dt) dt

Шаг 4: Подстановка параметризации

Теперь подставим параметры x(t) и y(t) в выражение для интеграла:

• dx/dt = f'(t)
• dy/dt = g'(t)

Таким образом, интеграл примет вид:

I = ∫(a to b) (P(f(t),g(t)) * f'(t) + Q(f(t),g(t)) * g'(t)) dt

Шаг 5: Вычисление интеграла

Теперь нам нужно вычислить полученный интеграл. Это можно сделать, если функции P и Q известны, и если интеграл можно вычислить аналитически или численно.

Шаг 6: Подстановка пределов интегрирования

Не забудьте подставить пределы интегрирования a и b, которые соответствуют начальной и конечной точкам кривой C.

Пример

Рассмотрим пример. Пусть кривая C задана параметрически как:

• x(t) = t
• y(t) = t^2

и векторное поле:

• F(x, y) = (y, x)

Тогда:

• P(x, y) = y = t^2
• Q(x, y) = x = t

Теперь мы можем вычислить производные:

• dx/dt = 1
• dy/dt = 2t

Теперь подставим все в интеграл:

I = ∫(0 to 1) (t^2 * 1 + t * 2t) dt = ∫(0 to 1) (t^2 + 2t^2) dt = ∫(0 to 1) (3t^2) dt

Теперь вычисляем интеграл:

I = [t^3] from 0 to 1 = 1^3 - 0^3 = 1

Таким образом, мы получили значение криволинейного интеграла I рода по заданной кривой и векторному полю.