Определитель квадратной матрицы действительно можно выразить через произведения элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения. Давайте разберем, что это означает и как это работает.

Определение алгебраического дополнения: Алгебраическое дополнение элемента матрицы – это определитель матрицы, полученной из исходной матрицы путем удаления строки и столбца, в которых находится этот элемент, с учетом знака. Знак определяется по правилу: если сумма индексов элемента четная, то знак положительный, если нечетная – отрицательный.

Шаги для нахождения определителя:

1. Выберите любую строку или столбец матрицы для вычисления определителя.
2. Для каждого элемента выбранной строки (или столбца) найдите его алгебраическое дополнение.
3. Умножьте каждый элемент выбранной строки (или столбца) на соответствующее алгебраическое дополнение.
4. Сложите все полученные произведения. Если вы использовали строку, то знак определителя будет положительным, если использовали столбец – знаки будут чередоваться.

Формула: Если A – матрица, и вы выбрали строку i, то определитель можно записать как:

det(A) = a_i1 * C_i1 + a_i2 * C_i2 + ... + a_in * C_in,

где a_ij – элементы строки i, а C_ij – их алгебраические дополнения.

Таким образом, определитель квадратной матрицы равен … произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Это один из основных способов вычисления определителя, который широко используется в линейной алгебре.