Чтобы найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c, когда за основание взят параллелограмм, построенный на векторах a и b, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти векторное произведение векторов a и b:
• Вектор a = 3i + 2j - 5k
• Вектор b = i - j + 4k
• Векторное произведение a × b можно найти, используя определитель:

 | i j k | | 3 2 -5 | | 1 -1 4 | 

• Рассчитываем по формуле:
  a × b = i(2*4 - (-5)(-1)) - j(3*4 - (-5)(1)) + k(3*(-1) - 2*1)
• Получаем:
  a × b = i(8 - 5) - j(12 + 5) + k(-3 - 2)
• Итак, a × b = 3i - 17j - 5k
2. Найти модуль векторного произведения a × b:
• Модуль вектора a × b = √(3^2 + (-17)^2 + (-5)^2)
• Модуль = √(9 + 289 + 25) = √323
3. Найти высоту параллелепипеда:
• Высота h равна проекции вектора c на нормаль к основанию, которая совпадает с направлением векторного произведения a × b.
• Вектор c = i - 3j + k
• Проекция c на a × b равна:
  h = |(c · a × b) / |a × b| |
• Скалярное произведение c · a × b = 1*3 + (-3)(-17) + 1*(-5)
• Скалярное произведение = 3 + 51 - 5 = 49
• Итак, высота h = |49 / √323|

Таким образом, высота параллелепипеда равна |49 / √323|. Это значение можно округлить, если требуется численный результат.