Чтобы вычислить высоту параллелепипеда, нам нужно воспользоваться свойствами векторного произведения и скалярного произведения. Высота параллелепипеда относительно выбранного основания определяется как длина проекции третьего вектора на направление нормали к основанию.

Давайте разберем шаги решения:

1. Определение нормали к основанию:
   • Основание параллелепипеда — это параллелограмм, построенный на векторах a и b.
   • Нормаль к этому параллелограмму можно найти, используя векторное произведение векторов a и b.
   • Векторное произведение: a = 3i + 2j - 5k и b = i - j + 4k.
   • Вычисляем векторное произведение: a × b = (2*4 - (-5)*(-1))i - (3*4 - (-5)*1)j + (3*(-1) - 2*1)k.
   • Результат: a × b = (8 - 5)i - (12 + 5)j + (-3 - 2)k = 3i - 17j - 5k.
2. Вычисление высоты:
   • Высота параллелепипеда относительно основания определяется как длина проекции вектора c на нормаль a × b.
   • Вектор c = 7i - 3j + k.
   • Используем скалярное произведение для нахождения проекции: (c · (a × b)) / |a × b|.
   • Вычисляем скалярное произведение c · (a × b) = (7*3) + (-3*(-17)) + (1*(-5)) = 21 + 51 - 5 = 67.
   • Вычисляем длину вектора |a × b| = √(3² + (-17)² + (-5)²) = √(9 + 289 + 25) = √323.
   • Высота: h = 67 / √323.

Таким образом, высота параллелепипеда относительно выбранного основания составляет 67 / √323.