Чтобы решить задачу, давайте сначала разберемся с основными свойствами правильной четырехугольной призмы и цилиндра, которые описаны друг вокруг друга.

Шаг 1: Понимание геометрии задачи

• Правильная четырехугольная призма имеет квадратное основание и прямые боковые грани.
• Цилиндр описан около призмы, что означает, что основание цилиндра касается всех вершин основания призмы.
• Радиус основания цилиндра равен 3.

Шаг 2: Определение стороны квадрата

Так как основание призмы квадратное и окружность цилиндра касается всех его вершин, то сторона квадрата (s) и радиус (R) связаны следующим образом:

R = s / (2 * sqrt(2)).

Подставим известный радиус:

3 = s / (2 * sqrt(2)).

Теперь найдем сторону квадрата:

s = 3 * (2 * sqrt(2)) = 6 * sqrt(2).

Шаг 3: Площадь боковой поверхности призмы

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы можно найти по формуле:

Площадь боковой поверхности = Периметр основания * Высота.

Периметр квадрата (P) равен 4 * s, где s - сторона квадрата:

P = 4 * (6 * sqrt(2)) = 24 * sqrt(2).

288 = P * h, где h - высота призмы (и цилиндра).

Подставим значение периметра:

288 = (24 * sqrt(2)) * h.

Шаг 4: Найдем высоту

Теперь выразим высоту h:

h = 288 / (24 * sqrt(2)) = 12 / sqrt(2).

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на sqrt(2):

h = (12 * sqrt(2)) / 2 = 6 * sqrt(2).

Шаг 5: Подсчет высоты цилиндра

Так как высота призмы равна высоте цилиндра, то высота цилиндра также равна 6 * sqrt(2).

Теперь давайте приблизительно оценим это значение:

sqrt(2) примерно равно 1.414, следовательно, 6 * sqrt(2) примерно равно 6 * 1.414 = 8.484.

Ответ: Высота цилиндра приблизительно равна 8.5. Однако, в предложенных вариантах (48, 24, 12) наиболее близкий ответ - 12.