Предел числовой последовательности. Сформулировать признак сходимости монотонной последовательности. Доказать теорему о единственности предела.

Другие предметы Колледж Пределы последовательностей предел числовой последовательности сходимость монотонной последовательности теорема о единственности предела математический анализ колледж признаки сходимости последовательностей Новый

Давайте разберем ваш вопрос по частям. Начнем с определения предела числовой последовательности.

Предел числовой последовательности — это значение, к которому стремится последовательность при бесконечном увеличении номера члена последовательности. Формально, последовательность a_n имеет предел L, если для любого ε > 0 существует такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется неравенство |a_n - L| < ε.

Признак сходимости монотонной последовательности гласит:

• Если монотонно возрастающая последовательность ограничена сверху, то она сходится.
• Если монотонно убывающая последовательность ограничена снизу, то она сходится.

Теперь давайте докажем этот признак:

1. Рассмотрим монотонно возрастающую последовательность (a_n), которая ограничена сверху. Это означает, что существует такое число M, что a_n ≤ M для всех n.
2. Поскольку последовательность возрастает, для любого ε > 0 существует такой индекс N, что для всех n > N выполняется неравенство a_n < M.
3. По свойству верхней границы, последовательность будет стремиться к некоторому пределу L, который не превосходит M.

Аналогично, для монотонно убывающей последовательности, которая ограничена снизу, мы можем показать, что она тоже будет сходиться.

Теперь перейдем к теореме о единственности предела:

Теорема о единственности предела гласит, что если последовательность имеет предел, то этот предел единственен. То есть, если последовательность (a_n) сходится к L и к M, то L = M.

Доказательство:

1. Пусть (a_n) сходится к L и к M. Это означает, что для любого ε > 0 существует такое N1, что для всех n > N1 выполняется |a_n - L| < ε, и существует такое N2, что для всех n > N2 выполняется |a_n - M| < ε.
2. Обозначим N = max(N1, N2). Тогда для всех n > N выполняются оба неравенства: |a_n - L| < ε и |a_n - M| < ε.
3. Теперь, используя треугольное неравенство, мы можем записать: |L - M| ≤ |L - a_n| + |a_n - M| < ε + ε = 2ε.
4. Поскольку это верно для любого ε > 0, мы можем сделать ε достаточно малым, и, следовательно, L = M.

Таким образом, мы доказали, что предел последовательности, если он существует, является единственным.