В теории игр матричная игра описывается с помощью матрицы, где строки представляют стратегии одного игрока, а столбцы — стратегии другого. Если все элементы матрицы отрицательны, это означает, что каждый исход игры приводит к отрицательному результату для игрока, который выбирает стратегию, соответствующую строке. Однако, если цена игры положительна, это может показаться противоречивым. Давайте разберем это подробнее.

Шаги анализа:

1. Определение цены игры: Цена игры — это значение, которое игроки могут ожидать получить, если они играют оптимально. В случае матричной игры с отрицательными элементами, цена игры будет представлять максимальный выигрыш для одного игрока и минимальные потери для другого.
2. Объяснение отрицательных элементов: Отрицательные элементы в матрице означают, что каждый игрок, выбирая свою стратегию, сталкивается с убытками. Однако это не исключает возможность того, что, играя оптимально, один из игроков может минимизировать свои потери, что приведет к положительному значению цены игры.
3. Оптимальные стратегии: Игроки могут использовать смешанные стратегии, чтобы сбалансировать свои риски. Например, игрок 1 может выбрать свои стратегии с определенными вероятностями, чтобы сделать свои потери менее предсказуемыми для игрока 2. Это может привести к ситуации, когда игрок 1 минимизирует свои потери, а игрок 2 не может полностью использовать свои преимущества.
4. Формирование положительной цены: Если в результате оптимальной игры один из игроков может гарантировать себе определенный уровень выигрыша, несмотря на отрицательные элементы в матрице, то цена игры может оказаться положительной. Это может быть достигнуто путем нахождения равновесия Нэша, где ни один из игроков не может улучшить свой результат, изменив свою стратегию в одностороннем порядке.

Таким образом, несмотря на то, что все элементы матрицы отрицательные, наличие положительной цены игры возможно благодаря оптимальным стратегиям и сбалансированным рискам. Это подчеркивает сложность и интересность анализа игр в теории игр.