Разложите в степенной ряд f(x)= arctg 3x

Другие предметы Колледж Степенные ряды и их разложение разложение в степенной ряд arctg 3x математика колледж степенной ряд математический анализ Новый

Чтобы разложить функцию f(x) = arctg(3x) в степенной ряд, мы можем использовать известное разложение функции arctg(x) в ряд Тейлора.

Функция arctg(x) имеет разложение в ряд Тейлора в окрестности нуля:

arctg(x) = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 - (x^7)/7 + ... = Σ (-1)^(n-1) * (x^(2n-1))/(2n-1),

где Σ обозначает сумму по всем натуральным n, начиная с 1.

Теперь, чтобы получить разложение для arctg(3x), мы просто подставим 3x вместо x в этом разложении:

arctg(3x) = 3x - (3x)^3/3 + (3x)^5/5 - (3x)^7/7 + ...

Теперь упростим каждый член:

• Первый член: 3x
• Второй член: -(3^3 * x^3)/3 = -9x^3
• Третий член: (3^5 * x^5)/5 = 243x^5/5
• Четвертый член: -(3^7 * x^7)/7 = -2187x^7/7

Таким образом, мы можем записать разложение в степенной ряд:

f(x) = arctg(3x) = 3x - 9x^3 + (243/5)x^5 - (2187/7)x^7 + ... = Σ (-1)^(n-1) * (3^(2n-1) * x^(2n-1))/(2n-1),

где n принимает значения от 1 до бесконечности.

Таким образом, мы получили разложение функции arctg(3x) в степенной ряд.