Разложите в степенной ряд f(x)= sin 2x

Другие предметы Колледж Степенные ряды и их разложение разложение в степенной ряд f(x)=sin 2x математика колледж тригонометрические функции ряд Тейлора математический анализ Новый

Чтобы разложить функцию f(x) = sin(2x) в степенной ряд, мы можем воспользоваться известным разложением функции синуса в ряд Тейлора. Сначала вспомним, что разложение функции sin(x) в ряд Тейлора имеет вид:

sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...

Теперь, чтобы получить разложение для sin(2x), мы просто подставим 2x вместо x в этом ряду:

1. Подставляем 2x в ряд:
2. f(x) = sin(2x) = 2x - (2x)^3/3! + (2x)^5/5! - (2x)^7/7! + ...

Теперь упростим каждое из членов ряда:

• (2x)^3 = 8x^3
• (2x)^5 = 32x^5
• (2x)^7 = 128x^7

Теперь можем записать разложение:

f(x) = sin(2x) = 2x - 8x^3/3! + 32x^5/5! - 128x^7/7! + ...

Здесь мы можем заметить, что в общем виде ряд будет выглядеть так:

f(x) = Σ (-1)^n * (2^(2n+1) * x^(2n+1)) / (2n+1)!, где n = 0, 1, 2, ...

Таким образом, мы получили разложение функции sin(2x) в степенной ряд. Если у вас есть вопросы по этому процессу, не стесняйтесь задавать их!