Разложите в степенной ряд f(x) = sin 2x

1. 2x/1! − 2³x³/3! + 2⁵x⁵/5! − …
2. 2x/1! − 2x³/3! + 2x⁵/5! − …
3. x/1! − x³/3! + x⁵/5! − …
4. 1 + 2x/1! + 2²x²/2! + …

Другие предметы Колледж Степенные ряды и их разложение разложение в степенной ряд высшая математика колледж синус функции математический анализ ряд Тейлора математические формулы обучение студенты примеры задач решение задач теория функций тригонометрические функции Новый

Чтобы разложить функцию f(x) = sin(2x) в степенной ряд, нам нужно использовать известное разложение синуса в ряд Тейлора. Сначала вспомним, что синус можно разложить следующим образом:

Ряд Тейлора для sin(x):

• sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...

Теперь, чтобы получить разложение для sin(2x), мы подставим 2x вместо x в этом ряде:

Разложение для sin(2x):

• sin(2x) = 2x - (2x)³/3! + (2x)⁵/5! - (2x)⁷/7! + ...

Теперь упрощаем каждое из слагаемых:

• 2x
• - (2³x³)/3! = - (8x³)/6 = - (4/3)x³
• + (2⁵x⁵)/5! = + (32x⁵)/120 = + (8/15)x⁵
• - (2⁷x⁷)/7! = - (128x⁷)/5040 = - (16/630)x⁷

Таким образом, мы можем записать разложение sin(2x) в виде:

sin(2x) = 2x - (4/3)x³ + (8/15)x⁵ - ...

Теперь давайте рассмотрим оставшуюся часть вашего вопроса. У вас есть выражение, которое включает и другие функции, такие как:

1. 2x/1! − 2³x³/3! + 2⁵x⁵/5! − …

2. 2x/1! − 2x³/3! + 2x⁵/5! − …

3. x/1! − x³/3! + x⁵/5! − …

4. 1 + 2x/1! + 2²x²/2! + …

Каждая из этих частей представляет собой свои собственные ряды. Давайте разложим каждую из них отдельно:

1. Разложение для 2x/1! − 2³x³/3! + 2⁵x⁵/5! − …:

• Это аналогично разложению для sin(2x), только с учетом знаков.

2. Разложение для 2x/1! − 2x³/3! + 2x⁵/5! − …:

• Это также можно представить как ряд для sin(2x), но с изменением знаков.

3. Разложение для x/1! − x³/3! + x⁵/5! − …:

• Это ряд для sin(x).

4. Разложение для 1 + 2x/1! + 2²x²/2! + …:

• Это ряд для экспоненты: e^(2x).

Теперь мы можем объединить все эти разложения, чтобы получить итоговое представление функции f(x). Каждая из частей может быть представлена как соответствующий ряд. В зависимости от того, какие именно части вы хотите сложить, можно получить различные функции.

Таким образом, разложение в степенной ряд для f(x) будет содержать все эти элементы, и мы можем использовать их для анализа функции в различных точках.