Для решения задачи о максимизации площади прямоугольной площадки, огороженной заданной длиной решетки, используем известные свойства геометрии и алгебры.

Обозначим длину прямоугольной площадки как a, а ширину как b. Площадь S прямоугольника можно выразить как:

S = a * b

Поскольку мы знаем, что длина решетки составляет 120 м, можем записать уравнение для периметра:

P = 2a + 2b = 120

Упростим это уравнение:

a + b = 60

Теперь выразим одну переменную через другую. Например, выразим b через a:

b = 60 - a

Подставим это выражение в формулу для площади:

S = a * (60 - a)

Теперь у нас есть функция площади S, которую мы можем выразить как:

S = 60a - a^2

Это квадратная функция, и её график представляет собой параболу, открывающуюся вниз. Максимум этой функции достигается в вершине параболы. Чтобы найти координаты вершины, используем формулу:

a = -b / 2a,

где b - коэффициент при a (в нашем случае -60), а a - коэффициент при a^2 (в нашем случае -1).

Подставим значения:

a = -(-60) / (2 * -1) = 30

Теперь, зная a, найдем b:

b = 60 - 30 = 30

Таким образом, размеры прямоугольной площадки, которая будет иметь наибольшую площадь при заданной длине ограждения, составляют 30 м на 30 м.

Теперь сравним это с предложенными вариантами:

• 20 м; 80 м
• 40 м; 40 м
• 30 м; 60 м
• 25 м; 70 м
• 35 м; 50 м

Из предложенных вариантов ни один не соответствует 30 м на 30 м. Однако, если мы рассматриваем прямоугольники, то наибольшая площадь будет у квадрата, который мы и нашли.

Если бы нам нужно было выбрать из предложенных вариантов, то наибольшая площадь будет у прямоугольника 40 м на 40 м, так как он ближе всего к квадрату и будет иметь площадь:

40 * 40 = 1600 м²

Таким образом, хотя оптимальные размеры составляют 30 м на 30 м, среди предложенных вариантов лучше всего выбрать 40 м на 40 м.