Для решения этой задачи нам нужно найти уравнение окружности, которая проходит через две заданные точки и имеет центр, лежащий на заданной прямой. Давайте разберемся, как это сделать шаг за шагом.

1. Обозначим центр окружности:

   Пусть центр окружности имеет координаты (a, b). Так как он лежит на прямой 3x - y - 2 = 0, то подставляя координаты центра в уравнение прямой, получаем:

   3a - b - 2 = 0.

   Отсюда b = 3a - 2.

2. Используем условие, что окружность проходит через точки A и B:

   Уравнение окружности в общем виде: (x - a)² + (y - b)² = R², где R — радиус окружности.

   Подставим координаты точки A(3, 1) в это уравнение:

   (3 - a)² + (1 - b)² = R².

   Подставим координаты точки B(-1, 3) в это уравнение:

   (-1 - a)² + (3 - b)² = R².

3. Подставим b = 3a - 2 в уравнения для радиуса:
   • (3 - a)² + (1 - (3a - 2))² = R²
   • (-1 - a)² + (3 - (3a - 2))² = R²

   Упрощаем каждое из уравнений:

   • (3 - a)² + (3 - 3a)² = R²
   • (-1 - a)² + (5 - 3a)² = R²
4. Решаем систему уравнений:

   Раскроем скобки и упростим каждое уравнение:

   • (9 - 6a + a²) + (9 - 18a + 9a²) = R²
   • (1 + 2a + a²) + (25 - 30a + 9a²) = R²

   Сравниваем уравнения:

   • 10a² - 24a + 18 = 10a² - 28a + 26

   Упростим и решим уравнение относительно a:

   • 4a = 8
   • a = 2
5. Найдем b и окончательное уравнение окружности:

   Подставим a = 2 в b = 3a - 2:

   b = 3(2) - 2 = 4.

   Теперь, когда у нас есть центр окружности (2, 4),подставим его в одно из уравнений радиуса:

   (3 - 2)² + (1 - 4)² = R²

   1 + 9 = R²

   R² = 10.

   Таким образом, уравнение окружности имеет вид:

   (x - 2)² + (y - 4)² = 10.

Вот мы и нашли уравнение окружности, которое удовлетворяет всем условиям задачи!