Похожие вопросы
2025-09-15 20:38:44
Установите соответствие между корнями характеристического уравнения и общим решением линейного дифференциального уравнения второго порядка:
- k₁≠k₂
- k₁=k₂
- k₁=k₂=a+ib
- y = c₁e^(k₁x) + c₂e^(k₂x)
- y = c₁eᵏˣ + c₂eᵏˣ
- y = e^(ax) ⋅ (c₁cosbx + c₂sinbx)
Другие предметы Колледж Линейные дифференциальные уравнения второго порядка корни характеристического уравнения общее решение линейное дифференциальное уравнение математика колледж дифференциальные уравнения второго порядка
2025-09-15 20:38:55
Давайте рассмотрим, как установить соответствие между корнями характеристического уравнения и общим решением линейного дифференциального уравнения второго порядка. Мы будем рассматривать три случая: когда корни различны, когда корни равны и когда корни комплексные.
-
Случай 1: k₁ ≠ k₂
- Когда корни характеристического уравнения различны, общее решение имеет вид:
- y = c₁e^(k₁x) + c₂e^(k₂x)
-
Случай 2: k₁ = k₂
- Когда корни характеристического уравнения равны, общее решение записывается как:
- y = c₁e^(k₁x) + c₂e^(k₁x) или, что эквивалентно, y = c₁e^(k₁x) + c₂e^(k₁x)
- Это можно также записать как y = e^(k₁x) (c₁ + c₂x), если учитывать второй член с учетом производной.
-
Случай 3: k₁ = k₂ = a + ib
- Когда корни комплексные, то есть имеют вид k₁ = k₂ = a + ib, общее решение будет:
- y = e^(ax) (c₁cos(bx) + c₂sin(bx))
Таким образом, мы установили соответствие между корнями характеристического уравнения и общим решением линейного дифференциального уравнения второго порядка:
- k₁ ≠ k₂: y = c₁e^(k₁x) + c₂e^(k₂x)
- k₁ = k₂: y = c₁e^(k₁x) + c₂e^(k₁x)
- k₁ = k₂ = a + ib: y = e^(ax) (c₁cos(bx) + c₂sin(bx))