Для решения задачи начнем с того, что у нас есть правильная четырёхугольная пирамида, в которой все рёбра равны 18. Это означает, что длина каждого ребра, включая основания, равна 18.

Сначала давайте определим, что такое правильная четырёхугольная пирамида. Это пирамида, у которой основание является квадратом, а все боковые грани - равнобедренные треугольники. В нашем случае длина стороны основания (квадрата) равна 18.

Теперь найдем координаты вершин пирамиды:

• Вершина основания A(0, 0, 0)
• Вершина B(18, 0, 0)
• Вершина C(18, 18, 0)
• Вершина D(0, 18, 0)
• Вершина S(9, 9, h), где h - высота пирамиды.

Для нахождения высоты пирамиды используем теорему Пифагора. Сначала найдем расстояние от центра основания до любой из вершин основания:

Центр основания O(9, 9, 0). Расстояние от O до A:

OA = sqrt((9-0)² + (9-0)²) = sqrt(81 + 81) = sqrt(162) = 9√2.

Теперь найдем h, используя равенство всех рёбер:

SA = 18 (ребро от вершины до основания), поэтому:

SA² = OA² + h²,

18² = (9√2)² + h².

324 = 162 + h².

h² = 324 - 162 = 162.

h = 9√2.

Теперь мы знаем координаты всех вершин пирамиды:

• A(0, 0, 0)
• B(18, 0, 0)
• C(18, 18, 0)
• D(0, 18, 0)
• S(9, 9, 9√2)

Теперь перейдем к нахождению середины боковых рёбер. Середины рёбер AS, BS, CS и DS будут следующими:

• M1 (середина AS) = (0, 0, 9√2/2)
• M2 (середина BS) = (18, 0, 9√2/2)
• M3 (середина CS) = (18, 18, 9√2/2)
• M4 (середина DS) = (0, 18, 9√2/2)

Теперь мы можем найти площадь сечения, которая образуется плоскостью, проходящей через точки M1, M2, M3 и M4. Это будет квадрат, так как все стороны равны:

Длина стороны квадрата равна расстоянию между M1 и M2:

Длина = M2 - M1 = sqrt((18-0)² + (0-0)²) = sqrt(324) = 18.

Площадь квадрата равна:

Площадь = сторона * сторона = 18 * 18 = 324.

Однако, мы ищем площадь сечения, проходящего через середины боковых рёбер, что приводит к уменьшению площади в два раза (так как сечение проходит через середины рёбер).

Поэтому, площадь сечения равна:

Площадь сечения = 324 / 2 = 162.

Ответ: 162.