В урне один белый и пять черных шаров. Два игрока по очереди вынимают из урны шар и возвращают его обратно, после чего шары в урне перемешиваются. Выигрывает тот, кто первый извлекает белый шар. Какова вероятность того, что выиграет игрок, начинающий игру?

Другие предметы Колледж Вероятностные игры вероятность выигрыша теория вероятностей математическая статистика игра с шарами белый шар черные шары два игрока случайный выбор шары в урне вероятность события Новый

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим вероятность того, что первый игрок выиграет, как P. Мы будем рассматривать два возможных сценария, в зависимости от того, какой шар достанет первый игрок.

• Сценарий 1: Первый игрок достает белый шар.
• Сценарий 2: Первый игрок достает черный шар.

Теперь давайте найдем вероятности этих сценариев:

1. Вероятность того, что первый игрок достанет белый шар, равна 1/6, так как в урне всего 6 шаров (1 белый и 5 черных).
2. Вероятность того, что первый игрок достанет черный шар, равна 5/6.

Теперь рассмотрим второй сценарий более подробно:

Если первый игрок достает черный шар (что происходит с вероятностью 5/6), то ход переходит ко второму игроку, который также может достать белый или черный шар. Вероятность того, что второй игрок достанет белый шар, равна 1/6, а вероятность того, что он достанет черный шар, равна 5/6. Если второй игрок достает черный шар, то игра продолжается, и снова ходит первый игрок.

Таким образом, вероятность того, что первый игрок выиграет, если он не выиграл с первого раза, можно выразить следующим образом:

P = (вероятность первого игрока достать белый шар) + (вероятность первого игрока достать черный шар) * (вероятность того, что второй игрок также достанет черный шар) * P.

Запишем это уравнение:

P = (1/6) + (5/6) * (5/6) * P.

Упростим это уравнение:

P = 1/6 + 25/36 * P.

Теперь перенесем все члены с P в одну сторону:

P - 25/36 * P = 1/6.

(1 - 25/36) * P = 1/6.

(11/36) * P = 1/6.

Теперь найдем P:

P = (1/6) / (11/36) = (1/6) * (36/11) = 6/11.

Таким образом, вероятность того, что первый игрок выиграет, составляет 6/11.