Похожие вопросы
2025-07-21 22:27:42
В урне один белый и пять черных шаров. Два игрока по очереди вынимают из урны шар и возвращают его обратно, после чего шары в урне перемешиваются. Выигрывает тот, кто первый извлекает белый шар. Какова вероятность того, что выиграет игрок, начинающий игру?
Другие предметы Колледж Вероятностные игры вероятность выигрыша теория вероятностей математическая статистика игра с шарами белый шар черные шары вероятность игрока статистические задачи колледж учебные материалы по статистике
2025-07-21 22:28:05
Для решения этой задачи давайте рассмотрим процесс игры и вероятность выигрыша для каждого из игроков.
В урне у нас есть 1 белый шар и 5 черных шаров, всего 6 шаров. Вероятность того, что игрок, который начинает игру (назовем его Игрок 1), вытащит белый шар, равна:
- Вероятность вытащить белый шар = количество белых шаров / общее количество шаров = 1/6.
Если Игрок 1 не вытащит белый шар (что происходит с вероятностью 5/6), тогда ход переходит к Игроку 2. Теперь Игрок 2 также имеет вероятность 1/6 вытащить белый шар. Если Игрок 2 также не вытащит белый шар (вероятность 5/6), то игра продолжается, и ход снова переходит к Игроку 1.
Таким образом, мы можем записать вероятности следующим образом:
- Игрок 1 выигрывает в первом ходе с вероятностью 1/6.
- Игрок 1 выигрывает во втором ходе (после того как Игрок 2 не вытащит белый шар) с вероятностью (5/6) * (5/6) * (1/6).
- Игрок 1 выигрывает в третьем ходе с вероятностью (5/6) * (5/6) * (5/6) * (5/6) * (1/6).
Обобщая, вероятность того, что Игрок 1 выиграет в любой из своих ходов, можно выразить как бесконечную геометрическую прогрессию:
Вероятность выигрыша Игрока 1:
- P(1) = 1/6 + (5/6) * (5/6) * (1/6) + (5/6)^4 * (1/6) + ...
Это можно записать как:
P(1) = 1/6 * (1 + (5/6)^2 + (5/6)^4 + ...)
Сумма бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем (5/6)^2 равна:
- Сумма = 1 / (1 - (5/6)^2) = 1 / (1 - 25/36) = 1 / (11/36) = 36/11.
Таким образом, вероятность выигрыша Игрока 1:
P(1) = (1/6) * (36/11) = 6/11.
Итак, вероятность того, что выиграет Игрок 1, который начинает игру, составляет:
6/11.