Похожие вопросы
2025-03-23 21:44:34
Верно ли сформулировано определение: " Функция дифференцируема в точке, если в этой точке у неё существует производная "
- да
- нет
Другие предметы Колледж Дифференцируемость функций математический анализ колледж определение функции дифференцируемая функция производная функции свойства производной анализ функций
2025-07-22 05:25:22
Да, определение верно.
Чтобы понять, почему это так, давайте рассмотрим, что означает дифференцируемость функции в точке.
- Дифференцируемость: Функция называется дифференцируемой в точке, если у нее существует производная в этой точке. Это означает, что мы можем найти значение производной функции в данной точке.
Производная функции в точке, в свою очередь, определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Формально это записывается как:
- Производная: Если функция y = f(x) имеет производную в точке x = a, то:
- f'(a) = lim (Δx → 0) [f(a + Δx) - f(a)] / Δx
Таким образом, если функция имеет производную в точке, то она дифференцируема в этой точке. Это определение является стандартным в математике и используется в курсе математического анализа.
Важным следствием является то, что если функция дифференцируема в точке, то она обязательно непрерывна в этой точке. Однако обратное утверждение неверно: функция может быть непрерывной в точке, но не дифференцируемой, как это бывает, например, в случае функции с "углом" в графике.
