Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) позволяет преобразовать сигнал из временной области в частотную. Рассмотрим процесс вычисления четырехточечного ДПФ для заданного сигнала. Предположим, что у нас есть сигнал x[n], состоящий из четырех отсчетов: x[0], x[1], x[2], x[3].

Четырехточечное ДПФ можно выразить следующей формулой:

X[k] = Σ (от n=0 до 3) x[n] * W_N^(nk)

где W_N = e^(-i * 2π / N) — это корень из единицы, N = 4 для четырехточечного преобразования, и k = 0, 1, 2, 3 — индексы, соответствующие частотным компонентам.

Теперь давайте пошагово рассчитаем ДПФ для каждого значения k:

1. Вычисление X[0]:
   • Подставляем k = 0 в формулу:
   • X[0] = x[0] * W_4^(0*0) + x[1] * W_4^(1*0) + x[2] * W_4^(2*0) + x[3] * W_4^(3*0)
   • Поскольку W_4^0 = 1 для всех случаев, получаем:
   • X[0] = x[0] + x[1] + x[2] + x[3]
2. Вычисление X[1]:
   • Подставляем k = 1 в формулу:
   • X[1] = x[0] * W_4^(0*1) + x[1] * W_4^(1*1) + x[2] * W_4^(2*1) + x[3] * W_4^(3*1)
   • Подставляем значения W_4^1, W_4^2, W_4^3:
   • W_4 = e^(-i * π/2), так что W_4^1 = i, W_4^2 = -1, W_4^3 = -i
   • Получаем:
   • X[1] = x[0] + x[1]*i - x[2] - x[3]*i
3. Вычисление X[2]:
   • Подставляем k = 2 в формулу:
   • X[2] = x[0] * W_4^(0*2) + x[1] * W_4^(1*2) + x[2] * W_4^(2*2) + x[3] * W_4^(3*2)
   • Подставляем значения W_4^2:
   • W_4^2 = -1
   • Получаем:
   • X[2] = x[0] - x[1] + x[2] - x[3]
4. Вычисление X[3]:
   • Подставляем k = 3 в формулу:
   • X[3] = x[0] * W_4^(0*3) + x[1] * W_4^(1*3) + x[2] * W_4^(2*3) + x[3] * W_4^(3*3)
   • Подставляем значения W_4^3:
   • W_4^3 = -i
   • Получаем:
   • X[3] = x[0] - x[1]*i - x[2] + x[3]*i

Таким образом, мы вычислили все четыре компоненты ДПФ для заданного сигнала. Эти значения X[0], X[1], X[2], X[3] представляют собой частотные компоненты сигнала.