Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 4y = x² , y² = 4x.

Другие предметы Колледж Площадь фигур, ограниченных кривыми площадь фигуры математика колледж вычисление площади графики функций уравнения кривых Новый

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 4y = x² и y² = 4x, сначала нужно найти точки пересечения этих двух кривых. Это поможет нам понять, в каких пределах мы будем вычислять площадь.

1. Преобразуем уравнения для удобства:

• Первое уравнение: 4y = x² можно записать как y = (1/4)x².
• Второе уравнение: y² = 4x можно записать как y = ±2√x.

2. Теперь найдем точки пересечения. Для этого приравняем y из первого уравнения к y из второго:

(1/4)x² = 2√x.

3. Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби:

x² = 8√x.

4. Переносим все на одну сторону:

x² - 8√x = 0.

5. Вынесем общий множитель:

√x(x - 8) = 0.

6. Это уравнение имеет два решения:

• √x = 0, что дает x = 0;
• x - 8 = 0, что дает x = 8.

Таким образом, точки пересечения находятся в x = 0 и x = 8.

7. Теперь мы можем вычислить площадь, ограниченную этими кривыми. Площадь можно найти, интегрируя разность верхней и нижней функций от 0 до 8:

8. В данном случае верхняя функция - это 2√x, а нижняя - (1/4)x²:

Площадь = ∫(от 0 до 8) (2√x - (1/4)x²) dx.

9. Теперь вычислим интеграл:

• Интеграл от 2√x: ∫2√x dx = (4/3)x^(3/2) + C;
• Интеграл от (1/4)x²: ∫(1/4)x² dx = (1/12)x³ + C.

10. Подставляем пределы в интеграл:

Площадь = [(4/3)(8)^(3/2) - (1/12)(8)³] - [(4/3)(0) - (1/12)(0)]

11. Вычислим значения:

• (8)^(3/2) = 8√8 = 8 * 2√2 = 16√2;
• Площадь = (4/3)(16√2) - (1/12)(512);
• Площадь = (64/3)√2 - (512/12) = (64/3)√2 - (128/3) = (64√2 - 128) / 3.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна (64√2 - 128) / 3.