Вычислить разность между приращением функции и ее дифференциалом в точке

Другие предметы Колледж Дифференцирование функций разность приращение функции дифференциал точка математический анализ колледж вычисление разности функции приращение и дифференциал задачи по математическому анализу Новый

Чтобы вычислить разность между приращением функции и её дифференциалом в заданной точке, давайте сначала разберем, что такое приращение функции и дифференциал.

1. Приращение функции:

Приращение функции f(x) в точке x0 при изменении аргумента на Δx определяется как:

Δf = f(x0 + Δx) - f(x0).

2. Дифференциал:

Дифференциал функции f(x) в точке x0 при изменении аргумента на Δx определяется как:

df = f'(x0) * Δx,

где f'(x0) - это производная функции f в точке x0.

3. Разность между приращением и дифференциалом:

Теперь мы можем найти разность между приращением функции и её дифференциалом:

R = Δf - df.

Подставим выражения для Δf и df:

R = (f(x0 + Δx) - f(x0)) - (f'(x0) * Δx).

4. Интерпретация разности:

Эта разность R показывает, насколько приращение функции отличается от её линейной аппроксимации, основанной на производной в точке x0. Если Δx достаточно мал, то разность R будет стремиться к нулю, что связано с тем, что производная описывает поведение функции в окрестности точки.

5. Пример:

Рассмотрим функцию f(x) = x^2 в точке x0 = 1 и возьмем Δx = 0.01.

• Сначала находим приращение:
• f(1 + 0.01) = (1.01)^2 = 1.0201
• f(1) = 1^2 = 1
• Δf = 1.0201 - 1 = 0.0201
• Теперь находим дифференциал:
• f'(x) = 2x, значит, f'(1) = 2
• df = 2 * 0.01 = 0.02
• Теперь находим разность:
• R = Δf - df = 0.0201 - 0.02 = 0.0001

Таким образом, разность между приращением функции и её дифференциалом в данной точке составляет 0.0001.

Эти шаги помогут вам понять, как вычислять разность между приращением функции и её дифференциалом в любой заданной точке.