Чтобы правильно выбрать время в этом предложении, давайте разберемся с контекстом и временными указателями.

Предложение начинается с фразы "At last Kate came", что переводится как "Наконец, Кейт пришла". Это указывает на завершение действия в прошлом. Таким образом, мы должны выбрать время, которое подходит для описания действия, происходившего до этого момента в прошлом.

Теперь посмотрим на варианты:

1. have been waiting - это Present Perfect Continuous, которое используется для описания действия, начавшегося в прошлом и продолжающегося до настоящего момента. Однако в нашем случае действие завершилось в прошлом, когда Кейт пришла, поэтому это время не подходит.
2. am waiting - это Present Continuous, которое описывает действие, происходящее в данный момент. Это время тоже не подходит, так как действие ожидания завершилось в прошлом.
3. had been waiting - это Past Perfect Continuous, которое используется для описания действия, начавшегося и продолжавшегося до определенного момента в прошлом. Это время идеально подходит для нашего предложения, так как действие ожидания завершилось в момент, когда Кейт пришла.

Таким образом, правильный ответ: had been waiting.