Что существует в графе, степень каждой вершины которого не меньше двух

Другие предметы Университет Теория графов граф степень вершины дискретная математика свойства графов университет Новый

В графе, где степень каждой вершины не меньше двух, существует как минимум один цикл. Давайте разберем, почему это так.

1. Определение степени вершины: Степень вершины в графе - это количество рёбер, инцидентных этой вершине. Если степень каждой вершины не меньше двух, это означает, что каждая вершина соединена как минимум с двумя другими вершинами.
2. Построение пути: Начнем с произвольной вершины и будем строить путь, переходя по рёбрам. Так как степень каждой вершины не меньше двух, всегда найдется ребро, по которому можно продолжить путь.
3. Появление цикла: Если мы продолжаем добавлять рёбра в наш путь, то рано или поздно мы должны вернуться в одну из уже посещенных вершин, потому что количество вершин конечно. Таким образом, в какой-то момент мы замкнем наш путь, образуя цикл.
4. Заключение: Поскольку у каждой вершины степень не меньше двух, мы не можем закончить путь тупиком (то есть вершиной, у которой степень меньше двух). Поэтому, продолжая путь, мы неизбежно придем к образованию цикла.

Таким образом, в графе с вершинами, степень которых не меньше двух, всегда существует хотя бы один цикл.