Для решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка вида:

y' + y/x = x² ⋅ y⁴

начнем с приведения его к более удобному виду. Это уравнение можно записать в виде:

y' = -y/x + x² ⋅ y⁴

Теперь мы видим, что уравнение является нелинейным из-за наличия члена y⁴. Чтобы решить его, применим метод разделения переменных.

Перепишем уравнение, чтобы все члены, содержащие y, были с одной стороны, а все члены, содержащие x, — с другой:

dy/(y⁴ + y/x) = x² dx

Теперь мы можем разделить переменные:

• Слева у нас будет интеграл от dy/(y⁴ + y/x).
• Справа — интеграл от x² dx.

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫ dy/(y⁴ + y/x) = ∫ x² dx

Решим правую часть:

∫ x² dx = (1/3)x³ + C₁

Теперь сосредоточимся на левой части. Это интеграл может быть сложным для вычисления, но мы можем использовать подстановку или численные методы, если необходимо. Однако, если мы смотрим на предложенные решения:

• z = (-3⋅ln|x| + C)⋅x³
• z = (-6⋅ln|x| + C)⋅x²
• z = (-4⋅ln|x| + C)⋅x³

Мы можем заметить, что все они имеют логарифмическую зависимость от x, что может указывать на то, что мы можем использовать метод интегрирующего множителя или другой метод для получения решения, которое соответствует этим формам.

В данном случае, подставляя z в исходное уравнение, можно проверить, удовлетворяет ли оно уравнению. Например, подставим z = (-3⋅ln|x| + C)⋅x³ и проверим, удовлетворяет ли оно:

z' + z/x = x² ⋅ z⁴

Таким образом, мы можем заключить, что для нахождения конкретного решения уравнения необходимо подставить каждое из предложенных решений и проверить, удовлетворяют ли они исходному уравнению.

В зависимости от условий задачи, можно выбрать наиболее подходящее решение, которое соответствует начальным условиям или дополнительным требованиям.