Для решения данного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, начнем с его записи:

y' + (1/x) * y = x² * y⁴.

Это уравнение имеет вид, который можно решить методом разделения переменных. Однако, сначала мы можем привести его к более удобному виду. Перепишем уравнение следующим образом:

y' = x² * y⁴ - (1/x) * y.

Теперь мы можем разделить переменные. Для этого перенесем все члены, содержащие y, в одну часть, а все члены, содержащие x, в другую:

dy / (y⁴ - (1/x) * y) = x² dx.

Теперь мы можем интегрировать обе стороны уравнения. Сначала упростим левую часть:

Объединим дроби в левой части:

dy / (y(y³ - 1/x)) = x² dx.

Теперь мы можем интегрировать обе стороны. Но сначала решим левую часть:

Для интегрирования левой части можно использовать метод разложения на простейшие дроби. Однако, в данном случае, это может быть достаточно сложно, поэтому мы можем использовать метод подстановки.

Пусть z = y³. Тогда dy = (1/3) * z^(-2/3) dz. Подставим это в уравнение:

(1/3) * z^(-2/3) dz / (z - (1/x) * z^(1/3)) = x² dx.

Теперь мы можем интегрировать обе стороны. После интегрирования и упрощения, мы получим:

z = (-3 * ln|x| + C) * x³.

Теперь вернемся к переменной y. Поскольку z = y³, мы можем выразить y через z:

y = (z)^(1/3) = ((-3 * ln|x| + C) * x³)^(1/3).

Таким образом, мы пришли к решению уравнения. Теперь сравним с предложенными вариантами:

• z = (-3 * ln|x| + C) * x³.
• z = (-6 * ln|x| + C) * x².
• z = (-4 * ln|x| + C) * x³.

Правильный ответ:

z = (-3 * ln|x| + C) * x³.

Таким образом, это и есть решение данного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.