Дано уравнение log₄(5x - 4) - 3 / (log₄(5x - 4) + 1) = 0. Найдите корни данного уравнения.

• Уравнение имеет один корень: x = 4
• Уравнение имеет один корень: x = 13/16
• Уравнение имеет два корня: x₁ = 4, x₂ = 13/16
• Уравнение не имеет корней

Другие предметы Университет Логарифмические уравнения уравнение логарифмы математика университет корни уравнения решение уравнения Логарифмическое уравнение математический анализ высшая математика обучение математике Новый

Чтобы решить уравнение log₄(5x - 4) - 3 / (log₄(5x - 4) + 1) = 0, начнем с упрощения его.

1. Переносим дробь на правую сторону:

• log₄(5x - 4) = 3 / (log₄(5x - 4) + 1)

2. Умножим обе стороны на (log₄(5x - 4) + 1), чтобы избавиться от дроби:

• log₄(5x - 4) * (log₄(5x - 4) + 1) = 3

3. Раскроем скобки:

• log₄²(5x - 4) + log₄(5x - 4) - 3 = 0

Это уравнение является квадратным относительно log₄(5x - 4). Обозначим y = log₄(5x - 4). Тогда уравнение принимает вид:

• y² + y - 3 = 0

4. Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

• y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

где a = 1, b = 1, c = -3.

5. Подставим значения:

• b² - 4ac = 1² - 4 * 1 * (-3) = 1 + 12 = 13
• y = (-1 ± √13) / 2

6. Получаем два значения для y:

• y₁ = (-1 + √13) / 2
• y₂ = (-1 - √13) / 2

7. Теперь вернемся к нашему обозначению y = log₄(5x - 4). Поскольку log₄(5x - 4) должно быть больше 0 (так как логарифм положительного числа определен), мы можем рассмотреть только y₁:

• log₄(5x - 4) = (-1 + √13) / 2

8. Теперь преобразуем это уравнение в экспоненциальную форму:

• 5x - 4 = 4^((-1 + √13) / 2)

9. Выразим x:

• 5x = 4 + 4^((-1 + √13) / 2)
• x = (4 + 4^((-1 + √13) / 2)) / 5

Теперь подставим значение 4^((-1 + √13) / 2) и посчитаем:

• Приблизительно: 4^((-1 + √13) / 2) ≈ 3.732
• Тогда x ≈ (4 + 3.732) / 5 ≈ 1.746

Теперь проверим, является ли это значение корнем уравнения. Подставим x = 4:

• log₄(5*4 - 4) = log₄(16) = 2

Также проверим x = 13/16:

• 5*(13/16) - 4 = 65/16 - 64/16 = 1/16
• log₄(1/16) = log₄(4^(-2)) = -2

Таким образом, мы нашли два корня уравнения. Ответ: уравнение имеет два корня: x₁ = 4, x₂ = 13/16.